Conjunto de arcos

Sea $X$ un espacio topológico, denotaremos por

Ω_{x_{0}}^{x_{1}} (X) := {α : I \to X continua, α (0) = x_{0}, α (1) = x_{1}}

Ω_{x_{0}} (X) := Ω_{x_{0}}^{x_{0}} (X)

Llamamos

π_{1} (X, x_{0}) := Ω_{x_{0}} (X) / ≃_{p}

es decir, el conjunto de clases de homotopía por caminos de lazos basados en $x_{0}$ .

Intuición

Ω

Se define $Ω_{x_{0}}^{x_{1}} (X)$ como el conjunto de aquellos caminos continuos que comienzan en el punto $x_{0}$ y terminan en el punto $x_{1}$ . En caso de que se empiece y acabe en el mismo sitio, esto es, que sea un lazo, se denota directamente como $Ω_{x_{0}} (X)$ ; a sus elementos se les llama lazos basados en $x_{0}$ .

Intuición

≃_{p}

Relaciona lazos para los que existe una homotopía entre ellos, es decir, se tiene que

α (0) = β (0) = x_{0} = α (1) = β (1),

pudiendo deformar los lazos $α$ en $β$ de forma continua sin alterar el punto base $x_{0}$ .

Intuición

π_{1}

El conjunto $π_{1} (X, x_{0})$ está formado por lazos que representan una manera "distinta", esto es, no deformable la una en la otra de forma continua (pues de ser el caso, formarían parte de la misma clase de equivalencia), de recorrer el conjunto $X$ partiendo desde $x_{0}$ y volviendo al mismo punto.